Статистическое определение вероятности
Автор: Болоненко Анастасия Владимировна, учитель математики МБОУ СОШ № 4 г. Скопин Рязанской областиКонспект урока по алгебре с проведением компьютерных экспериментов по моделированию случайности (9 класс)
Урок, направленный на изучение статистического определения вероятности, проводится с применением компьютерных экспериментов, моделирующих случайность. Его можно проводить в двух режимах: если есть возможность предоставить каждому учащемуся компьютер (или один компьютер на двоих), то ученики проводят компьютерные эксперименты самостоятельно; если же такой возможности нет, то учитель демонстрирует на своём компьютере проведение компьютерных экспериментов, но в этом случае тем более желательно, чтобы после урока ученики провели все эксперименты на своих домашних компьютерах.
Тип урока: комбинированный урок — изучение нового, обобщение и закрепление пройденного материала, компьютерные эксперименты.Цели урока:
─ изучить статическое определение вероятности;
─ закрепить знание классического определения вероятности, обобщить и сравнить различные определения вероятности;
─ научиться проводить случайные эксперименты с помощью компьютерного моделирования, интерпретировать их результаты, оценивать вероятность случайного события с помощью частоты, полученной опытным путём;
─ закрепить навыки нахождения вероятности с помощью классического определения, нахождения количества перестановок элементов множе-ства, частоты и относительной частоты случайного события;
─ развивать умения переносить свои знания в новую ситуацию, решать задачи разными способами;
─ развивать интерес к истории математики, познавательную активность учащихся;
─ воспитывать умение применять компьютерные и коммуникационные технологии в целях познания, образования, развития.
Оборудование и материалы для урока: компьютеры, на которых установлены программы, моделирующие случайные эксперименты; презентация, мультимедиа-проектор, раздаточный материал.
Содержание урока:
1. Постановка целей урока и актуализация опорных знаний.
2. Обсуждение и интерпретация результатов домашних экспериментов с монетой и кубиком.
3. Историческая справка (опыты Ж.Бюффона и К.Пирсона).
4. Проведение компьютерных экспериментов с монетой и кубиком, заполнение таблиц, интерпретация результатов.
5. Введение статистического определения вероятности, сравнение с классическим определением, выяснение областей применения этих определе-ний, историческая справка (ошибка Даламбера).
6. Проведение компьютерного эксперимента со стержнем и треугольником.
7. Решение задачи «Шляпы» с помощью классического определения вероятности.
8. Проведение компьютерного эксперимента «Шляпы», заполнение таблиц, сравнение результатов.
9. Домашнее задание.
10. Подведение итогов урока.
Тип урока: комбинированный урок — изучение нового, обобщение и закрепление пройденного материала, компьютерные эксперименты.Цели урока:
─ изучить статическое определение вероятности;
─ закрепить знание классического определения вероятности, обобщить и сравнить различные определения вероятности;
─ научиться проводить случайные эксперименты с помощью компьютерного моделирования, интерпретировать их результаты, оценивать вероятность случайного события с помощью частоты, полученной опытным путём;
─ закрепить навыки нахождения вероятности с помощью классического определения, нахождения количества перестановок элементов множе-ства, частоты и относительной частоты случайного события;
─ развивать умения переносить свои знания в новую ситуацию, решать задачи разными способами;
─ развивать интерес к истории математики, познавательную активность учащихся;
─ воспитывать умение применять компьютерные и коммуникационные технологии в целях познания, образования, развития.
Оборудование и материалы для урока: компьютеры, на которых установлены программы, моделирующие случайные эксперименты; презентация, мультимедиа-проектор, раздаточный материал.
Содержание урока:
1. Постановка целей урока и актуализация опорных знаний.
2. Обсуждение и интерпретация результатов домашних экспериментов с монетой и кубиком.
3. Историческая справка (опыты Ж.Бюффона и К.Пирсона).
4. Проведение компьютерных экспериментов с монетой и кубиком, заполнение таблиц, интерпретация результатов.
5. Введение статистического определения вероятности, сравнение с классическим определением, выяснение областей применения этих определе-ний, историческая справка (ошибка Даламбера).
6. Проведение компьютерного эксперимента со стержнем и треугольником.
7. Решение задачи «Шляпы» с помощью классического определения вероятности.
8. Проведение компьютерного эксперимента «Шляпы», заполнение таблиц, сравнение результатов.
9. Домашнее задание.
10. Подведение итогов урока.
ХОД УРОКА
1. Постановка целей урока и актуализация опорных знаний.
Учитель озвучивает цели урока. Ученики вспоминают классическое определение вероятности, условия его применения; в чём сущность геометри-ческого определения вероятности; понятия частоты варианты (события) при проведении статистических исследований, относительной частоты.
2. Обсуждение и интерпретация результатов домашних экспериментов с монетой и кубиком.
Сколько раз выпал «орёл» в 50 испытаниях? Какова относительная частота? Почему мы тогда говорим о вероятности, равной 0,5, если в реальности частота далеко не всегда 0,5? Как приблизиться к этой вероятности? (провести большее количество экспериментов)
Чему равно количество выпадений орла, если просуммировать результаты 10 человек? Относительная частота?
Чему равно количество выпадений «6» на кубике? Относительная частота?
3. Историческая справка: (слайд)
Французский ученый Ж. Бюффон (XVIII в.) бросал монету 4 040 раз, «орёл» выпал 2 048 раз, т.е. частота выпадения «орла» = 0,50693…
Английский математик К. Пирсон (XIХ в.) бросал монету 24 000 раз, «орёл» выпал 12 012 раз, т.е. частота выпадения «орла» = 0,5005
4. Проведение компьютерных экспериментов с монетой и кубиком.
а) Подготовка к компьютерным экспериментам.
Мы не будем столько раз подбрасывать монету, у нас есть другие способы. Прежде чем говорить о них, давайте рассмотрим следующую ситуацию: Ученикам было дано задание провести 100 испытаний по подбрасыванию монеты. Вова поленился подбрасывать её и выписал, как ему показалось, случайную последовательность «орлов» и «решек» из головы. Маша честно бросила монету все 100 раз. Сравните приведённые результаты со своими и определите, какой из них Вовин, а какой — Машин. (слайд).
Вова ошибочно полагал, что разность частот «орлов» и «решек» будет колебаться около нуля. В реальной серии экспериментов она будет неограни-ченно возрастать, поэтому Машин график гораздо сильнее отклоняется от нуля. (слайд)
А у компьютера есть функция генерировать случайные числа. С помощью этой функции можно составлять программы, моделирующие тысячи испытаний за секунды.
б) Проведение экспериментов с монетой и кубиком с помощью компьютерных программ moneta1.exe и kubik1.exe для n = 10, 10 (чтобы убедиться, что случайная последовательность будет другой), 50, 100, 1000, 1 млн., 10 млн. и заполнение таблиц 1 и 2 (см. Приложение).
5. Введение статистического определения вероятности.
а) Сравниваем полученные относительные частоты с вероятности, вычисленными аналитическими, делаем выводы, формулируем и записываем статистическое определение вероятности: За вероятность случайного события можно приближённо принять его относительную частоту, полученную в длинной серии экспериментов.
Это определение связано с явлением статистической устойчивости, т.е. с тем, что при неограниченном увеличении числа независимых повторений одного и того же опыта относительная частота фиксированного случайного события сближается с некоторым постоянным числом (стремится к постоянному числу).
б) Зачем же нужно такое определение вероятности? В каких условиях «не работает» классическое определение?
После ответов учеников учитель обобщает, что статистическое определение как раз и имеет большое практическое применение: процент всхожести семян, количество бракованных изделий, спрос на ту или иную продукцию, социологические опросы. То есть оно работает, когда невозможно или очень сложно рассчитать вероятность аналитически — с помощью классической схемы.
в) Учитель рассказывает о французском математике Даламбере (слайд) и о его ошибке, с которой он вошёл в историю теории вероятностей:
Задача. Какова вероятность, что две подброшенные монеты упадут одинаковыми сторонами? Решение, предложенное Даламбером: исходы испытания — два «орла», две «решки» и на одной монете «орёл» на другой «решка», — поэтому искомая вероятность равна 2/3. В чём же состоит его ошибка?
Итак, мы знаем, что классическое определение вероятности справедливо только когда все исходы равновозможны, а в реальной жизни такое бывает только в очень редких ситуациях.
6. Проведение компьютерного эксперимента со стержнем и треугольником.
Проведём эксперимент: согните бумажную полоску в двух произвольных местах. А теперь посмотрите, можно ли из полученных частей сделать треугольник? У кого получилось? Какое условие должно выполняться, чтобы треугольник получился? (Ученики вспоминают неравенство треугольника). Рассчитать аналитически вероятность такого события немного сложно. Мы найдём её в 11-м классе.
Поэтому проведём компьютерный эксперимент: Стержень случайным образом ломают на три части. Какова вероятность, что из этих обломков можно составить треугольник? Учащиеся проводят эксперимент с помощью программы n154-stergen.exe или triangle ka 0.1.exe и заполняют таблицу 3. (Искомая вероятность оказывается равной ¼).
7. Решение задачи «Шляпы» с помощью классического определения вероятности.
Вспомним задачу, которую мы решали в 6-м классе:
Три человека, придя в ресторан, сдали в гардероб свои шляпы. Расходились по домам они уже в темноте и разобрали шляпы наугад. Какие из следу-ющих событий невозможные, какие — случайные, какие — достоверные:
{все надели чужие шляпы};
{двое надели чужие шляпы, а один — свою};
{двое надели свои шляпы, а один — чужую};
{каждый надел свою шляпу}?
Давайте решим его с помощью классического определения. Пронумеруем людей и их шляпы. Чему равно общее количество исходов испытания? (количеству перестановок множества из 3 элементов = 3! = 6). Перечислим все возможные исходы: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1). Определяем, какие из них благоприятны какому из событий, и находим, что искомые вероятности равны соответственно 1/3, ½, 0 и 1/6.
8. Проведение компьютерного эксперимента «Шляпы» и сравнение результатов.
Исполнив программу Hats3.exe для разного числа испытаний n, учащиеся заполняют таблицу 4 и определяют, какое из данных событий закодировано какой из букв (А, В, С или D).
9. Домашнее задание.
1) Прочитать параграф 21 (стр. 211-214) в учебнике [2], выучить статистическое определение вероятности и изучить материал о статистическом исследовании литературных текстов и его практическом применении.
2) Смоделировать на компьютере ситуацию «Шляпы» не только для трёх, но и для 4-х, для 5, для 6 человек с помощью программы hats-k.exe и найти, чему равна вероятность того, что каждый наденет свою шляпу, для разных значений k (количество людей и, соответственно, шляп).
Найти соответствующие вероятности аналитически, т. е. используя классическое определение вероятности. (Они равны 1/k! – один случай из k!; k! — количество перестановок из k элементов множества)
3) Запустив программу 2monety.exe, ответить на вопрос: какую ситуацию, рассмотренную на уроке, она моделирует?
4) При желании с помощью остальных программ архива можно провести эксперименты, которые мы проводили в классе.
10. Итоги урока, рефлексия: что узнали нового, что понравилось, что следует изменить, чтобы урок был интереснее?
Список литературы
1. Вероятность и статистика. 5—9 кл.: Пособие для общеобразоват. учеб. заведений. / Е.А. Бунимович, В.А. Булычев. — М.: Дрофа, 2002.
2. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. — М. : Мнемозина, 2008.
Вложенный архив содержит конспект урока, презентацию и программы (zip, 1.2MB).
Скачать вложение