Однородные уравнения
Автор: Болоненко Анастасия Владимировна, учитель математики МБОУ «СОШ № 4» г. Скопина Рязанской областиКонспект занятия элективного курса в 11 классе.
На занятии обобщается понятие однородности выражений на примере тригонометрических, показательных и логарифмических выражений. Рассматриваются однородные уравнения первой, второй и третьей степени от одной переменной и от двух переменных, в том числе и задания повышенного уровня сложности, выходящие за пределы школьной программы. Закрепляются знания методов и навыки решения однородных тригонометрических, показательных и логарифмических уравнений. Закрепляется понятие «потери корней» и способы решения этой проблемы, подробно рассматриваются случаи, когда уравнение можно делить на выражение с переменной и при этом потери корней не произойдёт, и когда такое деление производить нельзя.
Цели: обобщить понятие однородности выражений, закрепить знания методов и навыки решения однородных тригонометрических, показательных и логарифмических уравнений, закрепить понятие «потери корней» и навыки решения этой проблемы.
Оборудование и материалы: презентация, мультимедиапроектор, карточки с уравнениями для учащихся.
Ход занятия:
1. Постановка целей занятия.
На экране и на карточках у каждого ученика уравнения, некоторые из тех, что необходимо решить на данном занятии или обсудить ход решения. Учащиеся сами определяют тему занятия, ответив на вопрос: что общего у этих тригонометрических, показательных и логарифмического уравнений — их тип, это однородные уравнения первого, второго и третьего порядков. В соответствии с этим обсуждаются цели занятия: обобщить понятие однородности выражений, закрепить знания методов и навыки решения однородных уравнений.
2. Обобщение понятия однородности.
3. Повторение методов решения однородных тригонометрических уравнений и понятия потери корней.
4. Решение показательных уравнений.
5. Заключительный этап урока.
Обсуждаем коротко этапы решения уравнения показательного уравнения и системы с логарифмическим уравнением.
Выводы:
1) однородные уравнения и неравенства состоят из однородных по степени слагаемых; с понятием однородности вы будете сталкиваться во время учёбы в вузе, помимо алгебраических уравнений, вы будете решать однородные дифференциальные уравнения первого и второго порядков; недавно участники городской олимпиады по математики столкнулись с понятием однородного многочлена первой и второй степени. Конечно, мы охватили не совсем все виды однородных выражений. В тригонометрических однородных уравнениях встречаются более сложные аргументы вида kx, где k – рациональное число. В показательных уравнениях аргументом (показателем) может являться даже квадратичное выражение — именно с таким вы недавно столкнулись на контрольной работе. К тому же, во второй части профильного уровня ЕГЭ могут «встретиться» однородные показательные неравенства, а не только уравнения. Но всё же принцип решения однородных уравнений и неравенств один и тот же.
2) каков основной принцип решения однородных уравнений? (деление обеих частей уравнений почленно на одну из функций в максимальной степени)
3) что обязательно нужно при этом учитывать? (что выражение, на которое мы делим, не должно быть равно нулю, иначе мы потеряем корни уравнения. Выражаясь точнее: те значения переменной, при которых делитель равен нулю, не должны быть корнями исходного уравнения).
Полный конспект занятия во вложении.
Список используемой литературы
1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10—11 классы. Часть 1. Учебник для общеобразовательных учреждений — М.: Мнемозина, 2006
2. Мордкович А.Г., Л.О. Денищева, Т.А. Корешкова, Т.Н. Мишустина, А.Р. Рязановский, П.В. Семенов. Алгебра и начала анализа. 10—11 классы. Часть 2. Задачник для общеобразовательных учреждений. — М.: Мнемозина, 2006
3. Гусева Н. Б., Сычева Г. В. О чем "молчит" учебник. – Математика в школе, 2000 г., № 3, с. 16-23.
4. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Материалы курса «Готовим к ЕГЭ хорошистов и отличников»: лекции 1–4. – М. : Педагогический университет «Первое сентября», 2012.
5. Чулков П.В. Материалы курса «Уравнения и неравенства в школьном курсе математики»: Лекции 5–8. – М. : Педагогический университет «Первое сентября», 2006.
6. Сергеев И.Н., Панферов В.С. ЕГЭ 2013. Математика. Задача С3. Уравнения и неравенства / Под ред. А.Л. Семенова и И.В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2013.
7. Севрюков П.Ф., Смоляков А.Н. Тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения и неравенства. — М.: Илекса ; Народное образование. 2008 – 352 с. – (Серия «Изучение сложных тем школьного курса математики»)
Цели: обобщить понятие однородности выражений, закрепить знания методов и навыки решения однородных тригонометрических, показательных и логарифмических уравнений, закрепить понятие «потери корней» и навыки решения этой проблемы.
Оборудование и материалы: презентация, мультимедиапроектор, карточки с уравнениями для учащихся.
Ход занятия:
1. Постановка целей занятия.
На экране и на карточках у каждого ученика уравнения, некоторые из тех, что необходимо решить на данном занятии или обсудить ход решения. Учащиеся сами определяют тему занятия, ответив на вопрос: что общего у этих тригонометрических, показательных и логарифмического уравнений — их тип, это однородные уравнения первого, второго и третьего порядков. В соответствии с этим обсуждаются цели занятия: обобщить понятие однородности выражений, закрепить знания методов и навыки решения однородных уравнений.
2. Обобщение понятия однородности.
3. Повторение методов решения однородных тригонометрических уравнений и понятия потери корней.
4. Решение показательных уравнений.
5. Заключительный этап урока.
Обсуждаем коротко этапы решения уравнения показательного уравнения и системы с логарифмическим уравнением.
Выводы:
1) однородные уравнения и неравенства состоят из однородных по степени слагаемых; с понятием однородности вы будете сталкиваться во время учёбы в вузе, помимо алгебраических уравнений, вы будете решать однородные дифференциальные уравнения первого и второго порядков; недавно участники городской олимпиады по математики столкнулись с понятием однородного многочлена первой и второй степени. Конечно, мы охватили не совсем все виды однородных выражений. В тригонометрических однородных уравнениях встречаются более сложные аргументы вида kx, где k – рациональное число. В показательных уравнениях аргументом (показателем) может являться даже квадратичное выражение — именно с таким вы недавно столкнулись на контрольной работе. К тому же, во второй части профильного уровня ЕГЭ могут «встретиться» однородные показательные неравенства, а не только уравнения. Но всё же принцип решения однородных уравнений и неравенств один и тот же.
2) каков основной принцип решения однородных уравнений? (деление обеих частей уравнений почленно на одну из функций в максимальной степени)
3) что обязательно нужно при этом учитывать? (что выражение, на которое мы делим, не должно быть равно нулю, иначе мы потеряем корни уравнения. Выражаясь точнее: те значения переменной, при которых делитель равен нулю, не должны быть корнями исходного уравнения).
Полный конспект занятия во вложении.
Список используемой литературы
1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10—11 классы. Часть 1. Учебник для общеобразовательных учреждений — М.: Мнемозина, 2006
2. Мордкович А.Г., Л.О. Денищева, Т.А. Корешкова, Т.Н. Мишустина, А.Р. Рязановский, П.В. Семенов. Алгебра и начала анализа. 10—11 классы. Часть 2. Задачник для общеобразовательных учреждений. — М.: Мнемозина, 2006
3. Гусева Н. Б., Сычева Г. В. О чем "молчит" учебник. – Математика в школе, 2000 г., № 3, с. 16-23.
4. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Материалы курса «Готовим к ЕГЭ хорошистов и отличников»: лекции 1–4. – М. : Педагогический университет «Первое сентября», 2012.
5. Чулков П.В. Материалы курса «Уравнения и неравенства в школьном курсе математики»: Лекции 5–8. – М. : Педагогический университет «Первое сентября», 2006.
6. Сергеев И.Н., Панферов В.С. ЕГЭ 2013. Математика. Задача С3. Уравнения и неравенства / Под ред. А.Л. Семенова и И.В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2013.
7. Севрюков П.Ф., Смоляков А.Н. Тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения и неравенства. — М.: Илекса ; Народное образование. 2008 – 352 с. – (Серия «Изучение сложных тем школьного курса математики»)
Полный вариант статьи во вложении (zip, 2MB)
Скачать вложение